Question

已知定点A（12，0），M为曲线（x-6）²+y²=4上的动点，
（1）若，试求动点P的轨迹C的方程
（2）若直线l：y=-x+a与曲线C相交与不同的两点E，F．O为坐标原点，且，实数a的值．

Answer 1

【答案】分析：设P（x，y），M （a，b）
（1）由可得a，b与x，y之间的关系，结合M（a，b）为为曲线（x-6）²+y²=4上的点可求x，y的关系，即可求曲线C 的方程
（2）联立直线y=-x+a与曲线C的方程，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），方程的根与系数关系可求x₁+x₂，x₁x₂，结合y₁y₂=（a-x₁）（a-x₂）=a²-a（x₁+x₂）+x₁x₂=及=x₁x₂+y₁y₂，代入可求a
解答：解：设P（x，y），M （a，b）
（1），
∵
∴
∴
∵M（a，b）为为曲线（x-6）²+y²=4上的点
∴（a-6）²+b²=4上
∴，即动点C的轨迹方程为x²+y²=16
（2）联立方程可得2x²-2ax+a²-16=0
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
则x₁+x₂=a，
∴y₁y₂=（a-x₁）（a-x₂）=a²-a（x₁+x₂）+x₁x₂=
∴=x₁x₂+y₁y₂=a²-16=12
∴a²=28
∴
点评：本题考查利用相关点法求解点的轨迹方程，直线与曲线相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，向量的数量积的坐标表示等综合应用