Question

已知定点A（12，0），M为曲线

x=6+2cosθ y=2sinθ

上的动点．
（1）若点P满足条件

AP

=2

AM

，试求动点P的轨迹C的方程；
（2）若直线l：y=-x+a与曲线C相交于不同的E、F两点，O为坐标原点且

OE

•

OF

=12，求∠EOF的余弦值和实数a的值．

Answer 1

分析：（1）利用坐标表示向量，利用条件

AP

=2

AM

，建立等式，从而可求动点P的轨迹C的方程；
（2）利用向量的数量积公式，可求cos∠EOF，利用点到直线的距离，可求参数的值．

解答：解：（1）设P的坐标为（x，y），则

AP

=(x-12，y)，

AM

=(-6+2cosθ，2sinθ)
∵

AP

=2

AM

∴（x-12，y）=2（-6+2cosθ，2sinθ）
∴

x=4cosθ y=4sinθ

（2）由

x=4cosθ y=4sinθ

，消去参数可得：x²+y²=16
表示以（0，0）为圆心，4 为半径的圆
∵直线l：y=-x+a与曲线C相交于不同的E、F两点，O为坐标原点且

OE

•

OF

=12，
∴4×4×cos∠EOF=12
∴cos∠EOF=

3

4

∴2cos2

∠EOF

2

-1=

3

4

∴cos

∠EOF

2

=

14

4

设圆心到直线的距离为d
∴cos

∠EOF

2

=

d

4

∴d=

14

圆心到直线l：y=-x+a的距离为：

|a|

2

=

14

∴a=±2

7

点评：本题重点考查参数方程，考查点到直线的距离公式的运用，属于基础题．