Question

若函数f（x）=x³+a|x²-1|，a∈R，则对于不同的实数a，则函数f（x）的单调区间个数不可能是（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．5个

Answer 1

分析：先令a=0，即可排除A，再将函数化为分段函数，并分段求其导函数，得f′（x），最后利用分类讨论，通过画导函数f′（x）的图象判断函数f（x）的单调区间的个数，排除法得正确判断

解答：解：依题意：（1）当a=0时，f（x）=x³，在（-∞，+∞）上为增函数，有一个单调区间     ①
当a≠0时，∵f（x）=x³+a|x²-1|a∈R
∴f（x）=

x3+ax2-a   x∈(-∞，-1]∪[1，+∞) x3-ax2+a   x∈(-1，1)

∴f′（x）=

3x2+2ax   x∈(-∞，-1]∪[1，+∞) 3x2-2ax    x∈(-1，1)

（2）当0＜a＜

3

2

时，∵-

1

2

＜-

a

3

＜0，0＜

a

3

＜

1

2

，∴导函数的图象如图1：（其中m为图象与x轴交点的横坐标）
∴x∈（-∞，0]时，f′（x）＞0，x∈（0，m）时，f′（x）＜0，x∈[m，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在x∈（-∞，0]时，单调递增，x∈（0，m）时，单调递减，x∈[m，+∞）时，单调递增，有3个单调区间    ②
（3）当a≥3时，∵-

a

3

＜-1，

a

3

＞1，∴导函数的图象如图2：（其中n为x≤-1时图象与x轴交点的横坐标）
∴x∈（-∞，n]时，f′（x）＞0，x∈（n，-1]时，f′（x）＜0，x∈（-1，0）时，f′（x）＞0，x∈[0，1）时，f′（x）＜0，x∈[1，+∞）时，f′（x）＞0
∴函数f（x）在x∈（-∞，n]时，单调递增，x∈（n，-1]时，单调递减，x∈（-1，0）时，单调递增，x∈[0，1）时，单调递减，x∈[1，+∞）时，单调递增，
有5个单调区间       ③
由①②③排除A、C、D，
故选B

点评：本题考查了含绝对值函数的单调区间的判断方法，利用导数研究三次函数单调区间的方法，函数与其导函数图象间的关系，排除法解选择题