Question

在△ABC中，A＞B＞C，B=60°，sinA-sinC+

2

2

cos(A-C)=

2

2

，
（1）求A，C大小；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，求函数y=sin（2x+A）的最值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（1）利用和差化积公式与二倍角的余弦可求得sin

A-C

2

=

2

2

，从而可求A，C大小；
（2）x∈[0，

π

2

]，A=105°=

7π

12

⇒2x+A=2x+

7π

12

∈[

7π

12

，

19π

12

]⇒-1≤sin（2x+

7π

12

）≤sin

7π

12

=

6 + 2

4

，从而可求得函数y=sin（2x+A）的最值．

解答： 解：（1）∵△ABC中，A＞B＞C，B=60°，
∴A+C=120°，①
又sinA-sinC+

2

2

cos（A-C）=

2

2

，
∴2cos

A+C

2

•sin

A-C

2

+

2

2

（1-2sin2

A-C

2

）=

2

2

，
即sin

A-C

2

+

2

2

-

2

sin2

A-C

2

=

2

2

，
∴sin

A-C

2

（1-

2

sin

A-C

2

）=0，sin

A-C

2

≠0，
∴sin

A-C

2

=

2

2

，0°＜

A-C

2

＜60°，
∴

A-C

2

=45°，②
由①②得A=105°，C=15°．
（2）∵x∈[0，

π

2

]，A=105°=

7π

12

，
∴2x+A=2x+

7π

12

∈[

7π

12

，

19π

12

]，
∴-1≤sin（2x+

7π

12

）≤sin

7π

12

，
又sin

7π

12

=sin（

π

3

+

π

4

）=sin

π

3

cos

π

4

+cos

π

3

sin

π

4

=

3

2

×

2

2

+

1

2

×

2

2

=

6 + 2

4

，
∴y=sin（2x+A）∈[-1，

6 + 2

4

]，
∴y=sin（2x+A）的最小值为-1，最大值

6 + 2

4

．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换，考查和差化积公式与二倍角的余弦，突出正弦函数单调性与两角和的正弦的考查，属于难题．