Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=（-1）ⁿ•n，若对任意正整数n，（a_n+1-p）（a_n-p）＜0恒成立，则实数P的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：数列的函数特性

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：当n=1时，a₁=S₁=-1；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．即可得出a_n．由于对任意正整数n，（a_n+1-p）（a_n-p）＜0恒成立，分类讨论：n是奇数时，求得p的取值范围；当n是正偶数时，求得p的取值范围，再求其交集即可．

解答： 解：当n=1时，a₁=S₁=-1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（-1）ⁿn-（-1）^n-1（n-1）=（-1）ⁿ（2n-1）．
∵对任意正整数n，（a_n+1-p）（a_n-p）＜0恒成立，
∴[（-1）ⁿ⁺¹（2n+1）-p][（-1）ⁿ（2n-1）-p]＜0，
①当n是奇数时，化为[p-（2n+1）][p+（2n-1）]＜0，解得1-2n＜p＜2n+1，
∵对任意正奇数n都成立，取n=1时，可得-1＜p＜3．
②当n是正偶数时，化为[p-（2n-1）][p+（1+2n）]＜0，解得-1-2n＜p＜2n-1，
∵对任意正偶数n都成立，取n=2时，可得-5＜p＜3．
联立

-1＜p＜3 -5＜p＜3

，解得-1＜p＜3．
∴实数P的取值范围是（-1，3）．
故答案为：（-1，3）．

点评：本题考查了“当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”求数列的通项公式a_n的方法、交集的运算法则、分类讨论思想方法，属于难题．