Question

15．已知一个动点P在圆x²+y²=36上移动，它与定点Q（4，0）所连线段的中点为M．
（1）求点M的轨迹方程．
（2）过定点（0，-3）的直线l与点M的轨迹交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且满足$\frac{x_1}{x_2}$+$\frac{x_2}{x_1}$=$\frac{21}{2}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用代入法求点M的轨迹方程．
（2）当直线L的斜率不存在时，直线L：x=0，满足条件，当直线L的斜率存在时，设直线L：y=kx-3，联立直线与圆的方程，利用韦达定理，可求出满足条件的k值，进而得到直线L的方程，最后综合讨论结果，可得答案．

解答 解：（1）设M（x，y），动点P（x₁，y₁），
由中点的坐标公式解得x₁=2x-4，y₁=2y，
由x₁²+y₁²=36，得（2x-4）²+（2y）²=36，
∴点M的轨迹方程是（x-2）²+y²=9…（4分）
（2）当直线L的斜率不存在时，直线L：x=0，与圆M交于$A（0，\sqrt{5}），B（0，-\sqrt{5}）$，
此时x₁=x₂=0，不合题意．…（6分）
当直线L的斜率存在时，设直线L：y=kx-3，则$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx-3}\\{{{（x-2）}^2}+{y^2}=9}\end{array}}\right.$，
消去y，得（1+k²）x²-（4+6k）x+4=0，${x_1}+{x_2}=\frac{4+6k}{{1+{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{4}{{1+{k^2}}}$
由已知${x_1}^2+{x_2}^2=\frac{21}{2}{x_1}{x_2}⇒7{k^2}-24k+17=0⇒k=1，k=\frac{17}{7}$，经检验△＞0．
综上：直线L为：x-y-3=0，17x-7y-21=0．…（12分）

点评 本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的标准方程，是直线与圆的综合应用，难度中档．