Question

【题目】已知圆，圆过点且与圆相切，设圆心的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）点，为曲线上的两点（不与点重合），记直线的斜率分别为，若，请判断直线是否过定点. 若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1） (2)见解析

【解析】

（1）结合题意发现圆心C的轨迹是以D，B为焦点的椭圆，建立方程，即可。（2）设出直线PQ的方程，建立方程，将直线方程代入椭圆方程，结合根与系数关系，得到m，k的关系式，计算定点，即可。

（1）设圆C的半径为r，依题意，|CB|＝r，|CD|＝4－r，

进而有|CB|＋|CD|＝4，所以圆心C的轨迹是以D，B为焦点的椭圆，

所以圆心C的轨迹方程为．

（2）设点的坐标分别为，

设直线的方程为（直线的斜率存在），

可得，

整理为：，

联立，消去得：，

由 ，有，

有，，

，可得，

故有：

整理得：，解得：或，

当时直线的方程为，即，过定点不合题意，

当时直线的方程为，即，过定点．