Question

17．已知|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=2，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角为120°求：
（1）（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）；
（2）$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$上的投影；
（3）$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角．

Answer 1

分析 （1）根据向量的数量积公式计算即可，
（2）根据投影的定义即可求出，
（3）根据向量的夹角公式计算即可．

解答 解：（1）∵|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=2，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角为120°，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•cos120°=4×2×（-$\frac{1}{2}$）=-4，
（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=|$\overrightarrow{a}$|²-2|$\overrightarrow{b}$|²-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=16-8+4=12，
（2）$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$上的投影为|$\overrightarrow{a}$|cos120°=-2，
（3）$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=|$\overrightarrow{a}$|²+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=16-4=12，
|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=16+4-8=12，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{3}$，
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}$=$\frac{12}{2\sqrt{3}×4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{6}$

点评 本题考查了向量的数量积公式和向量的夹角公式，属于基础题．