Question

【题目】已知.

（1）判断在上的单调性；

（2）判断函数在上零点的个数.

Answer 1

【答案】（1） 在内单调递减, 在内单调递增；（2）共有三个零点．

【解析】

试题分析：（1）首先求出函数的导函数，然后通过解关于导函数的不等式求出函数的单调区间即可；（2）首先求出，然后结合（1）知，由此得到的单调区间，从而根据零点的存在性定理求得函数在内的零点个数．

试题解析：（1）因为,令，

当时, 在上为增函数, 即是上的增函数, 且有；

当时, 则,当,则，

所以 在内单调递减, 在内单调递增.

（2）,由(1) 知，

所以在内单调递减, 在内单调递增.

因为且,

所以根据零点的存在性定理, 存在唯一,使得,

又，同理,存在唯一,使得,

所以在内单调递增, 在内单调递减, 则

故是在内的唯一零点．

由在内单调递增,, 且，

所以根据零点的存在性定理, 存在唯一,使得是在内的唯一零点．

由在内单调递增,, 且，

所以根据零点的存在性定理, 存在唯一,使得是在内的唯一零点．

综上所述, 在内共有三个零点, 分别为.