Question

一条直线l交抛物线y²=2px（p＞0）于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点．
（1）直线l过抛物线的焦点，求证：y₁•y₂=-p²；
（2）满足y₁•y₂=-p²，求证：直线l过抛物线的焦点．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据直线过焦点，写出直线的方程，根据根和系数的关系得到结果，
（2）已知中y₁•y₂=-p²，求出过A，B两点的方程，进而可证得直线l所过定点为抛物线的焦点．

解答： 证明：经过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两不同点，
抛物线y²=2px的焦点坐标为（

p

2

，0）
设直线为x-

p

2

=ky，即x=ky+

p

2

，
代入抛物线y²=2px得：
y²=2p（ky+

p

2

），即y²-2pky-p²，
由韦达定理得：y₁•y₂=-p²；
（2）若直线l与x轴平行或重合，此时直线与抛物线只有一个交点，不满足要求；
故直线l与x轴必相交，设直线l与x轴交于（a，0）点，
设直线为x-a=ky，即x=ky+a，
代入抛物线y²=2px得：
y²=2p（ky+a），即y²-2pky-2pa，
由韦达定理得：y₁•y₂=-2pa，
∴-2pa=-p²；
解得：a=

p

2

，
即直线l过抛物线的焦点．

点评：本题考查直线与抛物线之间的关系，利用方程联立得到方程，根据根和系数的关系得到结论．