Question

已知函数f（x）=

x+a

x+b

（a、b为常数）．
（1）若a=2，b=1，解不等式f（x-1）＞0；
（2）当x∈[-1，2]时，f （x）的值域为[

5

4

，2]，求a、b的值．

Answer 1

考点：函数的值域,其他不等式的解法

专题：函数的性质及应用

分析：本题（1）利用函数解析式得到分式不等式，再转化为整式不等式，解不等式，得到本题结论；（2）利用函数的单调性，得到相应的方程，解方程组得到本题结论，本题要利用连续区间内一定有单调性的这一特征，还要根据不同的单调性情况进行分类讨论．

解答： 解析：（1）∵函数f（x）=

x+a

x+b

（a、b为常数），
∴当a=2，b=1时，f(x)=

x+2

x+1

，
∴f（x-1）=

x+1

x

＞0，
∴x（x+1）＞0，
不等式的解为：x＞0或x＜-1．
（2）∵函数f（x）=

x+a

x+b

（a、b为常数），
∴f（x）=1+

a-b

x+b

，
①当a＞b时，f（x）在（-∞，-b]单调递减，f（x）在（-b，+∞）单调递减，
∴

-1+a -1+b =2 2+a 2+b = 5 4

，
∴

a=3 b=2

．
②当a=b时，不符合题意
③当a＜b时，f（x）单调递增，
∴

-1+a -1+b = 5 4 2+a 2+b =2

，
∴

a=-4 b=-3

．
故所求的值为a=3，b=2或a=-4，b=-3．

点评：本题考查了分式不等式的解法和函数单调性的应用，本题难度不大，属于基础题．