Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F（2，0）
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）抛物线C在x轴上方一点A的横坐标为2，过点A作两条倾斜角互补的直线，与曲线C的另一个交点分别为B，C，求证：直线BC的斜率为定值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据已知中抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F（2，0），求出p值，可求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）设出直线PA、PB的方程与椭圆方程联立，求出A，B的坐标，利用斜率公式，即可证明直线AB的斜率为定值．

解答： 解：（Ⅰ）∵抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F（2，0），
∴

p

2

=2，
解得：p=4，
故抛物线C的标准方程为：y²=8x；
（Ⅱ）∵点A的横坐标为2，
故A点的坐标为（2，4），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由已知设PA：m（y-4）=x-2，即：x=my-4m+2，
代入抛物线的方程得：y²=8（my-4m+2），即y²-8my+32m-16=0，
则：y₁+4=8m，故：y₁=8m-4，
设PB：-m（y-4）=x-2，即：x=-my+4m+2…（6分）
同理可得：y₂=-8m-4，…（10分）
直线AB的斜率k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

16m

-16m

=-1，
所以：直线AB的斜率为定值． …（12分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．