Question

若函数f（x）=

1

3

x³-x在（a，10-a²）上有最小值，则a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：由题意求导f′（x）=x²-1=（x-1）（x+1）；从而得到函数的单调性，从而可得-2≤a＜1＜10-a²；从而解得．

解答： 解：∵f（x）=

1

3

x³-x，
∴f′（x）=x²-1=（x-1）（x+1）；
故f（x）=

1

3

x³-x在（-∞，-1）上是增函数，
在（-1，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；
f（x）=

1

3

x³-x=f（1）=-

2

3

；
故x=1或x=-2；
故-2≤a＜1＜10-a²；
解得，-2≤a＜1
故答案为：[-2，1）．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了函数的最值，属于中档题．