Question

已知在平面直角坐标xOy中，直线l经过点P（0，1），倾斜角为

π

6

；在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ²-4ρsinθ=1．
（Ⅰ）写出直线l的参数方程和圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A，B两点，求弦AB的长．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）依题意知，直线的参数方程为

x=0+tcos π 6 y=1+tsin π 6

，化简可得结果；根据x=ρcosθ、y=ρsinθ可得圆C的标准方程．
（Ⅱ）设A，B对应的参数分别为t₁、t₂，将直线的参数方程代入圆的方程，利用韦达定理以及参数的几何意义求得|AB|=|t₁-t₂|的值．

解答： 解：（Ⅰ）依题意知，直线的参数方程为

x=0+tcos π 6 y=1+tsin π 6

，即

x= 3 2 t y=1+ 1 2 t

 （t为参数）．
圆C的方程为ρ²-4ρsinθ=1即 x²+y²-4y=1，
所以圆C的标准方程为 x²+（y-2）=5．
（Ⅱ）设A，B对应的参数分别为t₁、t₂，将

x= 3 2 t y=1+ 1 2 t

代入x²+（y-2）=5，
得 t²-t-4=0，∴t₁+t₂=1 t₁•t₂=-4，∴|t₁-t₂|=

17

，
由参数t的几何意义知|AB|=|t₁-t₂|=

17

．

点评：本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．