Question

如图：点A，B是单位圆圆O上不同的两点，设

OA

=

a

，

OB

=

b

．
（1）求证：（

a

+

b

）⊥（

a

-

b

）；
（2）线段PQ以点O为中点，且|PQ|=2|AB|，若两个向量k

a

+

b

与

a

-k

b

的模相等（k≠0，k∈R），问

BP

与

AQ

的夹角θ取何值时，

BP

•

AQ

的值最大？并求这个最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）

OA

=a，

OB

=

b

，且|

a

|=|

b

|=1，由此能证明（

a

+

b

）⊥（

a

-

b

）．
（2）由题意知(k

a

+

b

)2=(

a

-k

b

)2，OA⊥OB，由此推导出

BP

•

AQ

=(

OP

-

OB

)•(

OQ

-

OA

)=-2-2cosθ，从而得到当θ=π时，

BP

•

AQ

取得最大值为0．

解答： （1）证明：∵点A，B是单位圆上不同的两点，
∴

OA

=a，

OB

=

b

，
∴|

a

|=|

b

|=1，
又∵(

a

+

b

)•(

a

-

b

)=

a

2-

b

2=0，
∴（

a

+

b

）⊥（

a

-

b

）．
（2）解：∵两个向量k

a

+

b

与

a

-k

b

的模相等，k≠0，k∈R，
∴(k

a

+

b

)2=(

a

-k

b

)2，
即k2

a

2+2k

a

•

b

+

b

2=

a

2-2k

a

•

b

+k2

b

2，
∵|

a

|=|

b

|=1，k≠0，k∈R，
∴

a

•

b

=0，∴OA⊥OB，
∴

OB

•

OA

=0，|PQ|=2|AB|=

2

，
∴线段PQ以点O为中点，即|

OP

|=|

OQ

|=

2

，
又

BP

=

OP

-

OB

，

AQ

=

OQ

-

OA

，

OP

=-

OQ

，
∴

BP

•

AQ

=(

OP

-

OB

)•(

OQ

-

OA

)
=

OP

•

OQ

-

OP

•

OA

-

OB

•

OQ

+

OB

•

OA

=-2-

OP

•

OA

-

OB

•

OQ

=-2+

OQ

•

OA

-

OB

•

OQ

=-2+

OQ

(

OA

-

OB

)
=-2+

OQ

•

BA

=-2-

OQ

•

AB

=-2-2cosθ，
∴当θ=π时，

BP

•

AQ

取得最大值为0．

点评：本题考查向量垂直的证明，考查向量的数量积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意单位圆的性质的灵活运用．