Question

【题目】已知圆C的方程：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，其中m＜5．
（1）若圆C与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且|MN|= ，求m的值；
（2）在（1）条件下，是否存在直线l：x﹣2y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为 ，若存在，求出c的范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：圆的方程化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，

圆心 C（1，2），半径 ，

则圆心C（1，2）到直线l：x+2y﹣4=0的距离为：

由于 ，则 ，

有 ，

∴ ，解得m=4．

（2）解：假设存在直线l：x﹣2y+c=0，

使得圆上有四点到直线l的距离为 ，

由于圆心 C（1，2），半径r=1，

则圆心C（1，2）到直线l：x﹣2y+c=0的距离为：

，

解得

【解析】（1）圆的方程化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，圆心C（1，2）到直线l：x+2y﹣4=0的距离为 ，由此解得m=4．（2）假设存在直线l：x﹣2y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为 ，由于圆心 C（1，2），半径r=1，由此利用圆心C（1，2）到直线l：x﹣2y+c=0的距离，能求出c的范围．