Question

（2012•武昌区模拟）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率为

1

2

，两焦点之间的距离为4．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）过椭圆的右顶点作直线交抛物线y²=4x于A、B两点，
（1）求证：OA⊥OB；
（2）设OA、OB分别与椭圆相交于点D、E，过原点O作直线DE的垂线OM，垂足为M，证明|OM|为定值．

Answer 1

分析：（I）利用椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率为

1

2

，两焦点之间的距离为4，即可确定椭圆的标准方程；
（Ⅱ）（1）设过椭圆的右顶点（4，0）的直线AB的方程为x=my+4，代入抛物线方程y²=4x，得y²-4my-16=0．设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），再验证x₁x₂+y₁y₂=0即可；
（2）设D（x₃，y₃）、E（x₄，y₄），直线DE的方程为x=ty+λ，代入

x2

16

+

y2

12

=1，得（3t²+4）y²+6tλy+3λ²-48=0．
根据OD⊥OE，可得x₃x₄+y₃y₄=0，从而可得7λ²=48（t²+1），即可计算原点到直线DE的距离为定值．

解答：解：（Ⅰ）由

2c=4 c a = 1 2

得

a=4 c=2

，
故b²=a²-c²=12．
所以，所求椭圆的标准方程为

x2

16

+

y2

12

=1．
（Ⅱ）（1）设过椭圆的右顶点（4，0）的直线AB的方程为x=my+4．
代入抛物线方程y²=4x，得y²-4my-16=0．
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则

y1+y2=4m y1y2=-16.

∴x₁x₂+y₁y₂=（my₁+4）（my₂+4）+y₁y₂=（1+m²）y₁y₂+4m（y₁+y₂）+16=0．
∴OA⊥OB．
（2）设D（x₃，y₃）、E（x₄，y₄），直线DE的方程为x=ty+λ，代入

x2

16

+

y2

12

=1，得（3t²+4）y²+6tλy+3λ²-48=0．
于是y3+y4=-

6tλ

3t2+4

，y3y4=

3λ2-48

3t2+4

．
从而x3x4=(ty3+λ)(ty4+λ)=

4λ2-48t2

3t2+4

∵OD⊥OE，
∴x₃x₄+y₃y₄=0．
代入，整理得7λ²=48（t²+1）．
∴原点到直线DE的距离d=

|λ|

1+t2

=

4 21

7

为定值．

点评：本题重点考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的、抛物线的位置关系，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．