Question

10．在正方体AC₁中．
（1）平面A₁ADD₁与平面ABCD所成的二面角的度数；
（2）平面ABC₁D₁与平面ABCD所成的二面角的度数．

Answer 1

分析 （1）推导出AA₁⊥底面ABCD，从而平面A₁ADD₁⊥平面ABCD，由此能求出平面A₁ADD₁与平面ABCD所成的二面角的大小．
（2）推导出AB⊥BC，AB⊥BC₁，从而∠CBC₁是平面ABC₁D₁与平面ABCD所成的二面角的平面角，由此能求出平面ABC₁D₁与平面ABCD所成的二面角的度数．

解答 解：（1）∵在正方体AC₁中，AA₁⊥AD，AA₁⊥AB，AD∩AB=A，
∴AA₁⊥底面ABCD，
∵AA₁?A₁ADD₁，∴平面A₁ADD₁⊥平面ABCD，
∴平面A₁ADD₁与平面ABCD所成的二面角为90°．
（2）∵在正方体AC₁中，AB⊥平面BCC₁B₁，
∴AB⊥BC，AB⊥BC₁，
∴∠CBC₁是平面ABC₁D₁与平面ABCD所成的二面角的平面角，
∵BC=CC₁，BC⊥CC₁，
∴∠CBC₁=45°，
∴平面ABC₁D₁与平面ABCD所成的二面角的度数为45°．

点评 本题考查二面角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意正方体结构特征的合理运用．