Question

13．已知向量$\overrightarrow{m}$=（1，1），向量$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$的夹角为$\frac{3π}{4}$，且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-1．
（1）求向量$\overrightarrow{n}$；
（2）若向量$\overrightarrow{n}$与向量$\overrightarrow{q}$=（1，0）垂直，向量t$\overrightarrow{m}$+k$\overrightarrow{n}$与向量2$\overrightarrow{m}$-t²$\overrightarrow{n}$平行，试求$\frac{k+{t}^{2}}{t}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）设向量$\overrightarrow{n}$为（x，y），根据向量的数量积和向量的模的计算，构造方程解得即可，
（2）根据向量的垂直得到向量$\overrightarrow{n}$，再根据向量的平行得到t³=-2k，代入利用二次函数求出最值．

解答 解：（1）设向量$\overrightarrow{n}$为（x，y），
∵向量$\overrightarrow{m}$=（1，1），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-1，
∴x+y=-1，①
∵$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=|$\overrightarrow{m}$|•|$\overrightarrow{n}$|cos$\frac{3π}{4}$=-1，
∴$\sqrt{2}$×$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$×（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=-1，
即x²+y²=1，②
由①②解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$
∴向量$\overrightarrow{n}$=（0，-1）或（-1，0），
（2）由（1）可知向量$\overrightarrow{n}$=（0，-1）或（-1，0），向量$\overrightarrow{n}$与向量$\overrightarrow{q}$=（1，0）垂直，
∴$\overrightarrow{n}$=（0，-1），
∴t$\overrightarrow{m}$+k$\overrightarrow{n}$=（t，t-k），2$\overrightarrow{m}$-t²$\overrightarrow{n}$=（2，2+t²）
∵向量t$\overrightarrow{m}$+k$\overrightarrow{n}$与向量2$\overrightarrow{m}$-t²$\overrightarrow{n}$平行，
∴t（2+t²）=2t-2k，
即t³=-2k，
∴$\frac{k+{t}^{2}}{t}$=-$\frac{1}{2}$t²+t=-$\frac{1}{2}$（t-1）²+$\frac{1}{2}$，当t=1时取最大值，最大值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了向量的数量积的运算和向量的坐标运算以及二次函数的最值问题，属于中档题．