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    3．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知$\frac{sinA}{sinB+sinC}=1-\frac{a-b}{a-c}$．
    （Ⅰ）若b=$\sqrt{3}$，当△ABC周长取最大值时，求△ABC的面积；
    （Ⅱ）设$\overrightarrow m=（{sinA，1}），\overrightarrow n=（{6cosB，cos2A}），求\overrightarrow m•\overrightarrow n$的取值范围．

    分析 （Ⅰ）利用正弦定理化简已知可得：a2+c2-b2=ac，利用余弦定理可得cosB=$\frac{1}{2}$，又B∈（0，π），可求B的值，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得△ABC的周长l=a+b+c=2（sinA+sinB+sinC）=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）$+\sqrt{3}$，由0$＜A＜\frac{2π}{3}$，可得$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，当A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，即A=$\frac{π}{3}$时，△ABC周长l取最大值3$\sqrt{3}$，可得△ABC为等边三角形，利用三角形面积公式即可得解．
    （Ⅱ）利用平面向量的数量积的运算，三角函数恒等变换的应用可得$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=-2（sinA-$\frac{3}{4}$）2+$\frac{17}{8}$，由范围0$＜A＜\frac{2π}{3}$，可求0＜sinA≤1，利用二次函数的图象和性质即可解得
    $\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$的取值范围．

    解答 （本题满分为12分）
    解：（Ⅰ）∵1-$\frac{a-b}{a-c}$=$\frac{b-c}{a-c}$=$\frac{sinA}{sinB+sinC}$=$\frac{a}{a+c}$，化简可得：a2+c2-b2=ac，则$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{ac}$=1，
    ∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
    又∵B∈（0，π），
    ∴B=$\frac{π}{3}$…3分
    ∵由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2$，
    ∴△ABC的周长l=a+b+c=2（sinA+sinB+sinC）=2sinA+$\sqrt{3}$+2sin（$\frac{2π}{3}$-A）
    =3sinA+$\sqrt{3}$cosA+$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）$+\sqrt{3}$，…5分
    ∵0$＜A＜\frac{2π}{3}$，
    ∴$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，当A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，即A=$\frac{π}{3}$时，△ABC周长l取最大值3$\sqrt{3}$，由此可以得到△ABC为等边三角形，
    ∴S△ABC=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$…7分
    （Ⅱ）∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=6sinAcosB+cos2A=3sinA+1-2sin2A=-2（sinA-$\frac{3}{4}$）2+$\frac{17}{8}$，…9分
    ∵0$＜A＜\frac{2π}{3}$，
    ∴0＜sinA≤1，
    当sinA=$\frac{3}{4}$时，$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$取得最大值$\frac{17}{8}$，…11分
    ∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$的取值范围为（1，$\frac{17}{8}$]…12分

    点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，平面向量数量积的运算，二次函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，考查了计算能力，属于中档题．

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