Question

14．在△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，cos$\frac{C}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，且acosB+bcosA=2，则△ABC的面积的最大值为$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 所求的式子cosC利用二倍角的余弦函数公式化简后，将已知的cos$\frac{C}{2}$的值代入即可求出cosC值，利用余弦定理分别表示出cosB和cosA，代入到已知的等式中，化简后即可求出c的值，然后利用余弦定理表示出c²=a²+b²-2abcosC，把c及cosC的值代入后，利用基本不等式即可求出ab的最大值，然后由cosC的值，及C的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把ab的最大值及sinC的值代入即可求出面积的最大值．

解答 （本题满分为14分）
解：∵cos$\frac{C}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴cosC=2cos²$\frac{C}{2}$-1=2（$\frac{\sqrt{5}}{3}$）2-1=$\frac{1}{9}$；…（7分）
∵acosB+bcosA=2，
∴a×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$+b×$\frac{{c}^{2}+{b}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=2，
∴c=2，…（9分）
∴4=a2+b2-2ab×$\frac{1}{9}$≥2ab-2ab×$\frac{1}{9}$=$\frac{16}{9}$ab，
∴ab≤$\frac{9}{4}$（当且仅当a=b=$\frac{3}{2}$时等号成立）…（12分）
由cosC=$\frac{1}{9}$，得sinC=$\frac{4\sqrt{5}}{9}$…（13分）
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{4}$×$\frac{4\sqrt{5}}{9}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故△ABC的面积最大值为$\frac{\sqrt{5}}{2}$…（14分）

点评 此题考查了二倍角的余弦函数公式，基本不等式，余弦定理及三角形的面积公式．熟练掌握公式及定理是解本题的关键．