Question

4．已知函数$f（x）=\frac{|x+a|}{{{x^2}+1}}$（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＞1；
（Ⅱ）对任意的b∈（0，1），当x∈（1，2）时，$f（x）＞\frac{b}{x}$恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）问题转化为关于x的不等式组，解出即可；（2）问题转化为$a＞（b-1）x+\frac{b}{x}$或$a＜-[（b+1）x+\frac{b}{x}]$对任意x∈（1，2）恒成立，求出a的范围即可．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{|x+1|}{{{x^2}+1}}＞1$
?x²+1＜|x+1|
?$\left\{\begin{array}{l}x+1≥0\\{x^2}+1＜x+1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x+1＜0\\{x^2}+1＜-（x+1）\end{array}\right.$
?0＜x＜1…．（6分）
（2）$f（x）=\frac{|x+a|}{{{x^2}+1}}＞\frac{b}{x}$
?$|x+a|＞b（x+\frac{1}{x}）$
?$x+a＞b（x+\frac{1}{x}）$或$x+a＜-b（x+\frac{1}{x}）$
?$a＞（b-1）x+\frac{b}{x}$或$a＜-[（b+1）x+\frac{b}{x}]$对任意x∈（1，2）恒成立…（10分）
所以a≥2b-1或$a≤-（\frac{5}{2}b+2）$，对任意b∈（0，1）恒成立…．（13分）
所以a≥1或$a≤-\frac{9}{2}$…（15分）

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数恒成立问题，是一道中档题．