Question

16．已知函数f（x）=log（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+1，则f（1）+f（-1）=1；如果f（log_a5）=4（a＞0，a≠1），那么f（${log}_{\frac{1}{a}}$5）的值是-3．

Answer 1

分析 根据已知中两个函数的解析式，结合指数和对数的运算性质，可得f（x）+f（-x）=1，进而得到答案．

解答 解：∵函数f（x）=log（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+1，
∴函数f（-x）=log（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）+$\frac{1}{{2}^{-x}-1}$+1=log（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）-$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}-1}$+1，
故f（x）+f（-x）=1，
故f（1）+f（-1）=1，
f（${log}_{\frac{1}{a}}$5）=1-f（log_a5）=1-4=-3，
故答案为：1，-3．

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，指数的运算性质，根据已知得到f（x）+f（-x）=1，是解答的关键．