Question

8．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，中心为O，P为双曲线右支上一点，Q为OF₂中点，且PQ过△PF₁F₂的内心，当∠POF₂最大时，则双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得PQ为∠F₁PF₂的平分线，运用内角平分线定理可得$\frac{P{F}_{1}}{P{F}_{2}}$=$\frac{{F}_{1}Q}{{F}_{2}Q}$=3，由双曲线的定义可得PF₁-PF₂=2a，解得PF₁=3a，PF₂=a，由余弦定理可得OP，在△POF₂中，求得cos∠POF₂，运用离心率公式和基本不等式即可得到所求最大值时，离心率的大小．

解答 解：由题意可得PQ为∠F₁PF₂的平分线，
可得$\frac{P{F}_{1}}{P{F}_{2}}$=$\frac{{F}_{1}Q}{{F}_{2}Q}$=$\frac{\frac{3c}{2}}{\frac{1}{2}c}$=3，
由双曲线的定义可得PF₁-PF₂=2a，
解得PF₁=3a，PF₂=a，
由OP为△F₁PF₂的中线，
由余弦定理可得$\frac{O{P}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2OP•c}$=-$\frac{O{P}^{2}+{c}^{2}-9{a}^{2}}{2OP•c}$，
解得OP=$\sqrt{5{a}^{2}-{c}^{2}}$，
在△POF₂中，cos∠POF₂=$\frac{{c}^{2}+5{a}^{2}-{c}^{2}-{a}^{2}}{2c\sqrt{5{a}^{2}-{c}^{2}}}$
=$\frac{2{a}^{2}}{\sqrt{{c}^{2}（5{a}^{2}-{c}^{2}）}}$=$\frac{2}{\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}（5-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}）}}$=$\frac{2}{\sqrt{{e}^{2}（5-{e}^{2}）}}$
≥$\frac{2}{\frac{{e}^{2}+5-{e}^{2}}{2}}$=$\frac{4}{5}$，
当且仅当e²=5-e²，即e=$\frac{\sqrt{10}}{2}$时，cos∠POF₂取得最小值$\frac{4}{5}$，
即有∠POF₂取得最大．
故答案为：$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用余弦定理和基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．