Question

18．已知函数f（x）=|x-4|+|x-a|（a∈R）的最小值为a
（1）求实数a的值；
（2）解不等式f（x）≤5．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值的几何意义求出f（x）的最小值，从而求出a的值即可；（2）求出f（x）的分段函数形式，从而求出不等式的解集即可．

解答 解：（1）f（x）=|x-4|+|x-a|≥|4-a|=a，
从而解得a=2…（5分）
（2）由（1）知，
f（x）=|x-4|+|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+6，x≤2}\\{-2，2＜x＜4}\\{2x-6，x≥4}\end{array}\right.$，
x≤2时，-2x+6≤5，解得：x≥$\frac{1}{2}$，
2＜x＜4时，-2＜5，符合题意，
x≥4时，2x-6≤5，解得：x≤$\frac{11}{2}$，
故不等式的解集为$\left\{{x\left|{\frac{1}{2}≤x≤\frac{11}{2}}\right.}\right\}$…（10分）

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查了分段函数问题，是一道基础题．