Question

13．设函数f（x）=x²-2x+3，g（x）=x²-x．
（1）解不等式|f（x）-g（x）|≥2016；
（2）若|f（x）-a|＜2成立的充分条件是1≤x≤2，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件求得|x-3|≥2016，所以，x-3≥2016或 x-3≤-2016，由此求得得x的范围．
（2）依题意知：当1≤x≤2时，|f（x）-a|＜2恒成立，即a-2＜f（x）＜a+2恒成立．再根据当1≤x≤2时，f（x）=（x-1）²+2的最大值为3，最小值为2，从而求得a的范围．

解答 （1）由|f（x）-g（x）|≥2016得|-x+3|≥2016，即|x-3|≥2016，
所以x-3≥2016或 x-3≤-2016，
解得x≥2019或x≤-2013．
（2）依题意知：当1≤x≤2时，|f（x）-a|＜2恒成立，
所以当1≤x≤2时，-2＜f（x）-a＜2恒成立，即a-2＜f（x）＜a+2恒成立．
由于当1≤x≤2时，f（x）=（x-1）²+2的最大值为3，最小值为2，
因此3-2＜a＜2+2，即1＜a＜4，所以实数a的取值范围（1，4）．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．