Question

4．设{a_n}是等差数列，{b_n}是各项都为正数的等比数列（n∈N^*），且a₁=1，b₁=3，已知a₂+b₃=30，a₃+b₂=14
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=（a_n+1）•b_n，T_n=c₁+c₂+…+c_n，（n∈N^*），试比较T_n与2a_nb_n的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（II）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式可得T_n，通过“作差法”即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}公差为d，等比数列{b_n}公比为q．
∵a₁=1，b₁=3，a₂+b₃=30，a₃+b₂=14，
∴$\left\{\begin{array}{l}{d+3{q}^{2}=29}\\{2d+3q=13}\end{array}\right.$，化为2q²-q-15=0，
解得：q=3，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，b_n=3ⁿ．
（Ⅱ） c_n=（a_n+1）•b_n=2n•3ⁿ，
∴T_n=2（3+2×3²+…+n•3ⁿ），
3T_n=2[3²+2×3³+…+（n-1）×3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹]，
∴-2T_n=2（3+3²+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹）=2$[\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}-n×{3}^{n+1}]$=（1-2n）×3ⁿ⁺¹-3，
∴T_n=$（n-\frac{1}{2}）•{3}^{n+1}$+$\frac{3}{2}$．
又2a_nb_n=2（2n-1）×3ⁿ．
∴T_n-2a_nb_n=$（n-\frac{1}{2}）•{3}^{n+1}$+$\frac{3}{2}$-2（2n-1）×3ⁿ=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}（2n-1）•{3}^{n}$，
当n=1时，T_n=2a_nb_n，
当n≥2时，T_n＜2a_nb_n．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系、“作差法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．