Question

14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若$sinA=2sinB，cosC=-\frac{1}{4}$，则$\frac{c}{a}$=（　　）

• A． $\sqrt{6}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 由已知及正弦定理可得b=$\frac{1}{2}$a，利用余弦定理可得-$\frac{1}{4}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}-{c}^{2}}{2a×\frac{a}{2}}$，整理可得：c²=$\frac{3}{2}$a²，从而解得$\frac{c}{a}$的值．

解答 解：在△ABC中，∵sinA=2sinB，
∴利用正弦定理可得：a=2b，即：b=$\frac{1}{2}$a，
∵cosC=-$\frac{1}{4}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}-{c}^{2}}{2a×\frac{a}{2}}$，整理可得：c²=$\frac{3}{2}$a²，
∴$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故选：B．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．