Question

16．若F₁，F₂分别是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）左、右焦点，过点F₁的直线交双曲线左支于A，B两点，若|AF₁|=3|F₁B|，BF₁⊥BF₂，则双曲线C的渐近线方程是y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x，离心率为$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

Answer 1

分析 设F₁（-c，0），F₂（c，0），由BF₁⊥BF₂，可得B为圆x²+y²=c²与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的交点，解得B的坐标，再由向量共线的坐标表示，可得A的坐标，代入双曲线的方程，化简整理，即可得到a，c的关系，进而得到离心率，由a，b，c的关系，可得渐近线方程．

解答 解：设F₁（-c，0），F₂（c，0），由BF₁⊥BF₂，
可得B为圆x²+y²=c²与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的交点，
求得B，不妨设为（-$\frac{a\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}{c}$，-$\frac{{b}^{2}}{c}$），
由|AF₁|=3|F₁B|，可得$\overrightarrow{A{F}_{1}}$=3$\overrightarrow{{F}_{1}B}$，
可得-c-x_A=3（-$\frac{a\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}{c}$+c），
又0-y_A=3（（-$\frac{{b}^{2}}{c}$-0），
解得x_A=$\frac{3a\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}-4{c}^{2}}{c}$，y_A=$\frac{3{b}^{2}}{c}$，
将A的坐标代入双曲线的方程，可得
$\frac{（3a\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}-4{c}^{2}）^{2}}{{c}^{2}{a}^{2}}$-$\frac{9{b}^{2}}{{c}^{2}}$=1，
由b²=c²-a²，代入化简可得，
2c⁴-7a²c²+5a⁴=0，
由e=$\frac{c}{a}$，可得2e⁴-7e²+5=0，
解得e²=$\frac{5}{2}$（1舍去），
可得e=$\frac{\sqrt{10}}{2}$；
由c=$\frac{\sqrt{10}}{2}$a，可得b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
可得双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x．
故答案为：y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x，$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，注意运用圆与双曲线的方程联立，求得交点，再由向量共线的坐标表示，点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．