Question

8．设m＞0，双曲线M：$\frac{{x}^{2}}{m}$-y²=1与圆N：x²+（y-m）²=1相切，A（-$\sqrt{m+1}$，0），B（$\sqrt{m+1}$，0），若圆N上存在一点P满足|PA|-|PB|=2$\sqrt{m}$．则点P到x轴的距离为（　　）

• A． m³
• B． m²
• C． m
• D． $\frac{m}{1+m}$

Answer 1

分析 求得双曲线的a，b，c，焦点坐标，运用双曲线的定义可得P在双曲线上，且P为双曲线与圆相切的切点，设切点P（s，t），对双曲线的方程两边对x求导，可得切线的斜率，再由圆的切线的性质，可得s，t的方程，解方程可得t，即点P到x轴的距离．

解答 解：双曲线M：$\frac{{x}^{2}}{m}$-y²=1的a=$\sqrt{m}$，b=1，c=$\sqrt{m+1}$，
由A（-$\sqrt{m+1}$，0），B（$\sqrt{m+1}$，0），
圆N上存在一点P满足|PA|-|PB|=2$\sqrt{m}$，
可得A，B为双曲线的焦点，
由双曲线的定义可得P在双曲线上，
且P为双曲线与圆相切的切点，
设切点P（s，t），由双曲线M：$\frac{{x}^{2}}{m}$-y²=1对x求导，可得：
$\frac{2x}{m}$-2yy′=0，可得切线的斜率为$\frac{s}{mt}$，
由切线与圆心和切点的连线垂直，可得：
$\frac{s}{mt}$•$\frac{m-t}{-s}$=-1，解得t=$\frac{m}{1+m}$．
即有点P到x轴的距离为$\frac{m}{1+m}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查圆的切线的斜率求法，以及双曲线的切线的斜率求法，考查运算能力，属于中档题．