Question

3．利用（1+x）²ⁿ=（1+x）ⁿ（1+x）ⁿ证明：（C${\;}_{n}^{0}$）²+（C${\;}_{n}^{1}$）²+（C${\;}_{n}^{2}$）²+…+（C${\;}_{n}^{n}$）²=C${\;}_{2n}^{n}$．

Answer 1

分析 根据二项展开式的通项公式，求出（1+x）²ⁿ的展开式中含xⁿ项的系数，再求出（1+x）ⁿ•（1+x）ⁿ的展开式中含xⁿ项的系数，即可证明结论成立．

解答 证明：∵（1+x）²ⁿ=（1+x）ⁿ（1+x）ⁿ，
∴（1+x）²ⁿ的展开式中含xⁿ项的系数为${C}_{2n}^{n}$；
而（1+x）ⁿ•（1+x）ⁿ的展开式中含xⁿ项的系数为
C_n⁰C_nⁿ+C_n¹C_n^n-1+C_n²C_n^n-2+…+C_nⁿC_n⁰=（C_n⁰）²+（C_n¹）²+…+（C_nⁿ）²，
即（C_n⁰）²+（C_n¹）²+…+（C_nⁿ）²=C_2nⁿ．

点评 本题考查了组合数公式的性质与应用问题，也考查了二项展开式的应用问题，是基础题目．