Question

11．设函数f（x）=x²+ax+b，a，b∈R．
（Ⅰ）若2a+b=4，证明：|f（x）|在区间[0，4]上的最大值M（a）≥12；
（Ⅱ）存在实数a，使得当x∈[0，b]时，1≤f（x）≤10恒成立，求实数b的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把2a+b=4代入函数解析式，利用f（x）的对称轴为进行分类，求出f（x）在[0，4]上的最值，进一步求得|f（x）|在区间[0，4]上的最大值．由最大值的最小值为12证得答案；
（Ⅱ）f（x）的对称轴为x=-$\frac{a}{2}$，根据对称轴与区间[0，b]的关系分情况讨论f（x）的单调性，求出最值，根据1≤f（x）≤10列出不等式组，化简得出b的取值范围，从而得到实数b的最大值．

解答 （Ⅰ）证明：∵2a+b=4，
∴f（x）=x²+ax+b=x²+ax+4-2a=$（x+\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}-2a+4$，
当$-\frac{a}{2}≤0$，即a≥0时，f（x）在[0，4]上为增函数，f（x）∈[-2a+4，2a+20]，
|f（x）|的最大值为M（a）=2a+20；
当$-\frac{a}{2}≥4$，即a≤-8时，f（x）在[0，4]上为减函数，f（x）∈[2a+20，-2a+4]，
此时-2a+4＞|2a+20|，|f（x）|的最大值为M（a）=-2a+4；
当0$＜-\frac{a}{2}≤2$，即-4≤a＜0时，f（x）在[0，4]上的最小值为$f（-\frac{a}{2}）=-\frac{{a}^{2}}{4}-2a+4$，
f（x）在[0，4]上的最大值为f（4）=2a+20，
∵2a+20≥12，4＜$-\frac{{a}^{2}}{4}-2a+4≤8$，
∴|f（x）|在区间[0，4]上的最大值M（a）=2a+20；
当$2＜-\frac{a}{2}＜4$，即-8＜a＜-4时，f（x）在[0，4]上的最小值为$f（-\frac{a}{2}）=-\frac{{a}^{2}}{4}-2a+4$，
f（x）在[0，4]上的最大值为f（0）=-2a+4，
∵-2a+4＞12，4＜$-\frac{{a}^{2}}{4}-2a+4≤8$，
∴|f（x）|在区间[0，4]上的最大值M（a）=-2a+4．
∴M（a）=$\left\{\begin{array}{l}{-2a+4，a＜-4}\\{2a+20，a≥-4}\end{array}\right.$，则M（a）≥12；
（Ⅱ）f（x）=x²+ax+b的对称轴为x=$-\frac{a}{2}$．
①若a≥0，则$-\frac{a}{2}$≤0，∴f（x）在[0，b）上单调递增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=b≥1}\\{f（b）={b}^{2}+ab+b≤10}\end{array}\right.$．
由b²+ab+b≤10，得$\frac{10}{b}-b-1$≥a≥0，
解不等式组$\left\{\begin{array}{l}{b≥1}\\{10-b-{b}^{2}≥0}\end{array}\right.$，得1$≤b≤\frac{-1+\sqrt{41}}{2}$．
②若0＜$-\frac{a}{2}$＜$\frac{b}{2}$，即-b＜a＜0时，f（x）在[0，$-\frac{a}{2}$]上单调递减，在（-$\frac{a}{2}$，b]单调递增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-\frac{a}{2}）=b-\frac{{a}^{2}}{4}≥1}\\{f（b）={b}^{2}+ab+b≤10}\end{array}\right.$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{b≥\frac{{a}^{2}}{4}+1}\\{\frac{10}{b}-b-1≥a}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b≥1}\\{\frac{10}{b}＞1}\end{array}\right.$，得1＜b＜10．
③若0＜$\frac{b}{2}≤-\frac{a}{2}$＜b，即-2b＜a＜-b＜0时，f（x）在[0，$-\frac{a}{2}$]单调递减，在（$-\frac{a}{2}$，b]单调递增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-\frac{a}{2}）=b-\frac{{a}^{2}}{4}≥1}\\{f（0）=b≤10}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b＞1}\\{b≤10}\end{array}\right.$，则1＜b≤10．
④若$-\frac{a}{2}$≥b，即a≤-2b时，f（x）在[0，b）上单调递减，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=b≤10}\\{f（b）={b}^{2}+ab+b≥1}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b≤10}\\{a≥\frac{1}{b}-b-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b≤10}\\{\frac{1}{b}-b-1≤-2b}\end{array}\right.$，则b∈∅．
综上，b的取值范围是[1，10]，b的最大值为10．

点评 本题考查恒成立问题，主要考查二次函数的图象和性质，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，体现了分类类讨论的思想方法，难度较大．