Question

1．已知数列{a_n}的前n项和S_n=4-a_n-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$．
（1）求a_n+1与a_n的关系；
（2）求通项公式a_n．

Answer 1

分析 （1）由条件求得 S_n+1=4-a_n+1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$  ②，和已知等式相减、化简可得a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$，
（2）由（1）得 2ⁿ•a_n+1-2^n-1•a_n=1，故{2^n-1•a_n} 是以1为首项，以1为公差的等差数列，求出故2^n-1•a_n=n，可得a_n的解析式．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和S_n=4-a_n-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$  ①，
∴a₁=4-a₁-2，
∴a₁=1．
又 S_n+1=4-a_n+1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$  ②，
②-①可得a_n+1=a_n-a_n+1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
即a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$，
（2）由（1）得：
∴2ⁿ•a_n+1-2^n-1•a_n=1，
∴2^1-1•a₁=1，
∴{2^n-1•a_n} 是以1为首项，以1为公差的等差数列，
∴2^n-1•a_n=1+（n-1）×1=n，
∴a_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．
当n=1时，a₁=1成立，
∴a_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题主要考查数列的函数特性，根据数列的前n项和求数列的通项公式，解题的关键是构造等差数列{2^n-1•a_n}，属于中档题．