Question

9．已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范围是[-2，6]．

Answer 1

分析 建立坐标系，设P（2cosθ，sinθ），求出$\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{PB}$的坐标，代入数量积公式得到关于θ的三角函数，利用正弦函数的性质得出．

解答 解：以三角形的外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系．
设A（2，0），B（-1，$\sqrt{3}$），P（2cosθ，2sinθ）．
则$\overrightarrow{PA}$=（2cosθ-2，2sinθ），$\overrightarrow{PB}$=（2cosθ+1，2sinθ-$\sqrt{3}$）．
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（2cosθ-2）（2cosθ+1）+2sinθ（2sinθ-$\sqrt{3}$）
=2-2cosθ-2$\sqrt{3}$sinθ
=2-4sin（θ+$\frac{π}{6}$）．
∴-2≤$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$≤6．
故答案为[-2，6]．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．