Question

13．数列{a_n}中，a₁=1，$\frac{2}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n+1}}+\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2，n∈N），a₅=-11，则其通项为a_n=$\frac{11}{14-3n}$（n∈N⁺）．

Answer 1

分析 由题意可得数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项的等差数列，再求出公差d，即可求得a_n．

解答 解：∵a₁=1，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∵$\frac{2}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n+1}}+\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2），
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项的等差数列，
∵a₅=-11，
∴$\frac{1}{{a}_{5}}$=-$\frac{1}{11}$，
设数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的公差为d，
∴$\frac{1}{{a}_{5}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$+4d，
∴-$\frac{1}{11}$=1+4d，
解得d=-$\frac{3}{11}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1-$\frac{3}{11}$（n-1），
∴a_n=$\frac{11}{14-3n}$，
当n=1时，a₁=1成立，
综上所述其通项为a_n=$\frac{11}{14-3n}$，（ n∈N⁺ ）
故答案为：a_n=$\frac{11}{14-3n}$，（ n∈N^* ）

点评 本题主要考查用构造法求数列的通项公式，判断数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项的等差数列是解题的关键，属于中档题．