Question

12．当双曲线：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}+8}$-$\frac{{y}^{2}}{6-2m}$=1的焦距取得最小值时，其渐近线的斜率为（　　）

• A． ±1
• B． $±\frac{2}{3}$
• C． $±\frac{1}{3}$
• D． $±\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由题意可得6-2m＞0，即有m＜3，由c²=m²+8+6-2m=（m-1）²+13，可得m=1取得最小值，由双曲线的渐近线方程，可得渐近线的斜率．

解答 解：由题意可得6-2m＞0，即有m＜3，
由c²=m²+8+6-2m=（m-1）²+13，
可得当m=1时，焦距2c取得最小值，
双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
即有渐近线方程为y=±$\frac{2}{3}$x．
渐近线的斜率为±$\frac{2}{3}$x．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的渐近线的斜率的求法，注意运用二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．