Question

15．对于函数f（x）=sinx十2cosx，给出下列三个命题：
①存在φ∈（0，$\frac{π}{2}$），使f（φ）=$\frac{3}{4}$；
②存在φ∈R，使函数f（x+φ）的图象关于y轴对称；
③存在φ∈R，使函数f（x+φ）的图象关于原点对称．
其中真命题是②③．（填序号）．

Answer 1

分析 由条件利用辅助角公式化简函数的解析式，再利用诱导公式，正弦函数、余弦函数的值域以及它们的图象的对称性，得出结论．

解答 解：对于函数f（x）=sinx十2cosx=$\sqrt{5}$（$\frac{1}{\sqrt{5}}$sinx+$\frac{2}{\sqrt{5}}$cosx）=$\sqrt{5}$sin（x+θ）∈[-$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$]，
其中，cosθ=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，sinθ=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，θ为锐角，θ=arcsin$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∵φ∈（0，$\frac{π}{2}$），α+θ∈（arcsin$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{π}{2}$+arcsin$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），f（φ）=$\sqrt{5}$sin（α+θ）∈（1，$\sqrt{5}$]，
∵$\frac{3}{4}$∉（1，$\sqrt{5}$]，故不存在φ∈（0，$\frac{π}{2}$），使f（φ）=$\frac{3}{4}$，故①不正确．
∵f（x+φ）=$\sqrt{5}$sin（x+φ+θ），故当θ+φ=$\frac{π}{2}$时，f（x+φ）=$\sqrt{5}$sin（x+φ+θ）=$\sqrt{5}$cosx为偶函数，
故②正确．
∵f（x+φ）=$\sqrt{5}$sin（x+φ+θ），故当θ+φ=kπ，k∈Z时，f（x+φ）=±$\sqrt{5}$sinx，
为奇函数，它的图象关于原点对称，故③正确，
故答案为：②③．

点评 本题主要考查辅助角公式，诱导公式，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于中档题．