Question

8．已知点（$\frac{π}{12}$，0）是函数f（x）=（asinx-cosx）cosx+$\frac{1}{2}$图象的一个对称中心．
（1）求实数a的值；
（2）设锐角三角形ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（A）=1，△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$，求$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意将点的坐标代入解析式求出a；
（2）通过数据线的面积，三角形是锐角三角形，利用余弦定理化简求出c的范围，然后之后转化求解向量的数量积的范围．

解答 解：（1）由题意得f（x）=（asinx-cosx）cosx$+\frac{1}{2}$=$\frac{a}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x
∵f（x）关于点（$\frac{π}{12}$，0）对称，所以f（$\frac{π}{12}$）=$\frac{a}{2}$sin$\frac{π}{6}$$-\frac{1}{2}$cos$\frac{π}{6}$=0；
解得a=$\sqrt{3}$．
（2）由（1）可知f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）．锐角三角形ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（A）=1，可得：sin（2x-$\frac{π}{6}$）=1，解得A=$\frac{π}{3}$，△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{1}{2}bcsinA=\frac{\sqrt{3}}{4}$，所以bc=1，
$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=accosB=ac×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-2bccosA+{c}^{2}-{b}^{2}}{2}$=c²-$\frac{1}{2}$．
因为△ABC为锐角三角形，所以$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{c}^{2}＞{b}^{2}}\\{{a}^{2}+{b}^{2}＞{c}^{2}}\end{array}\right.$，又a²=b²+c²-1，所以$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}＞\frac{1}{2}}\\{{c}^{2}＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
又bc=1，所以$\frac{1}{2}$＜c²＜2，
故$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$的取值范围是（0，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变化的应用，考查了正弦定理，余弦定理，向量的数量积的运算等知识的综合应用，考查了正弦函数的图象和性质，综合性强，考查了三角函数的化简以及利用正弦函数的性质求sin（2x-$\frac{π}{6}$）的最值．