Question

10．已知a，b是不全为零的实数，函数f（x）=3ax²+2bx-（a+b）（a，b均为实数）
（Ⅰ）若a=1，且对一切b∈（1，2）恒有f（x）＞3x²+b²，求x的取值范围；
（Ⅱ）求证：函数f（x）在（0，1）内一定有零点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）问题转化为x＞$\frac{{b}^{2}+b+1}{2b}$，b∈（1，2），令g（b）=$\frac{{b}^{2}+b+1}{2b}$，求出g（b）的最大值，从而求出x的范围即可；
（Ⅱ）可通过构造函数f（x）=ax³+bx²-（a+b）x，由f（0）=f（1）=0，且f（x）是连续函数，得到在区间（0，1）内，f（x）存在极值，从而解决问题．

解答 解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=3x²+2bx-（1+b），
对一切b∈（1，2）恒有f（x）＞3x²+b²，
即3x²+2bx-（1+b）＞3x²+b²，b∈（1，2），
∴x＞$\frac{{b}^{2}+b+1}{2b}$，b∈（1，2），
令g（b）=$\frac{{b}^{2}+b+1}{2b}$，则g′（b）=$\frac{{b}^{2}-1}{{2b}^{2}}$＞0，
∴g（b）在（1，2）递增，
∴g（b）＞g（2）=$\frac{7}{4}$，
故x的范围是（$\frac{7}{4}$，+∞）；
（Ⅱ）构造函数f（x）=ax³+bx²-（a+b）x，
∵f（0）=f（1）=0，且f（x）是连续函数，
∴在区间（0，1）内，f（x）存在极值，
∴总存在x=k∈（0，1），使得f′（k）=0，
又f′（x）=3ax²+2bx-（a+b），
∴f′（k）=3ak²+2bk-（a+b）=0，
即x=k是方程3ax²+2bx-（a+b）=0的一个根
∴方程3ax²+2bx-（a+b）=0在（0，1）内至少有一个根．

点评 本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，导数的应用，属于中档题．