Question

5．在如图所示的多面体ABCDEFG中，面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=120°，DE∥CF∥BG，CF⊥面ABCD，AG∥EF，且CF=2 BG=4．
（I）证明：EG∥平面ABCD；
（Ⅱ）求直线CF与平面AEG所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明四边形AEFG为平行四边形．连接AF交EG于M，连接AC，BD交于O，连接MO，证明MG∥BO．即可证明EG∥平面ABCD．
（Ⅱ）解法一、证明FC与平面AEFG所成的角就是∠AFC．在Rt△AFC中，求解FC与平面AEG所成角的正弦即可．
解法二、以O为坐标原点，分别以直线AC、BD为x、y轴，建立空间直角坐标系O-xyz，求出平面AEG的法向量，然后利用向量的数量积求解直线CF与平面AEG所成角的正弦值即可．

解答 解：（Ⅰ）证明：AG∥EF⇒AG与EF共面．
由平面ADE∥平面BCFG⇒AE∥FG⇒
四边形AEFG为平行四边形．
连接AF交EG于M，连接AC，BD交于O，
连接MO，如图1所示．
则MO∥CF，且$MO=\frac{1}{2}CF=BG$，
故BOMG为平行四边形，所以MG∥BO．
又BO?平面ABCD，MG?平面ABCD，
所以MG∥平面ABCD，即EG∥平面ABCD．…（6分）
（Ⅱ）解法一、DE∥CF∥BG，CF⊥面ABCD，AG∥EF，
$\left.{\begin{array}{l}{CF⊥平面ABCD⇒CF⊥DB}\\{四边形ABCD是菱形⇒BD⊥AC}\\{CF、AC?面ABCD且CF∩AC=O}\end{array}}\right\}$⇒BD⊥平面ACF．
由（Ⅰ）知EG∥BD，所以EG⊥平面ACF⇒平面AEFG⊥平面ACF．
因为平面AEFG∩平面ACF=AF，C∈平面ACF，所以点C在平面AEFG
内的射影落在AF上，故FC与平面AEFG所成的角就是∠AFC．
在Rt△AFC中，$sin∠AFC=\frac{AC}{AF}=\frac{2}{{\sqrt{{2^2}+{4^2}}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
所以FC与平面AEG所成角的正弦为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．…（12分）
解法二、
由（Ⅰ）易知，DE=BG=2．以O为坐
标原点，分别以直线AC、BD为x、y
轴，建立空间直角坐标系O-xyz，
如图2所示．

则有A（1，0，0）、$E（0\;，\;-\sqrt{3}\;，\;\;2）$，$G（0\;，\;\sqrt{3}\;，\;2）$，C（-1，0，0），F（-1，0，4），
所以 $\overrightarrow{AE}=（-1\;，\;\;-\sqrt{3}\;，\;\;2）$，$\overrightarrow{EG}=（0\;，\;\;2\sqrt{3}\;，\;\;0）$，$\overrightarrow{CF}=（0\;，\;0\;，\;4）$．
设面AEG的法向量为$\overrightarrow n=（x\;，\;y\;，\;z）$，
由$\overrightarrow n⊥\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow n⊥\overrightarrow{EG}$，得$\left\{\begin{array}{l}-x-\sqrt{3}y+2z=0\;\\ 2\sqrt{3}y=0.\end{array}\right.$令z=1，则x=2
所以$\overrightarrow n=（2\;，\;0\;，\;1）$，于是$cos＜\overrightarrow n\;，\;\overrightarrow{CF}＞=\frac{4}{{4\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．…（10分）
故直线CF与平面AEG所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．…（12分）

点评 本题考查直线与平面平行于垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．