Question

9．设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，左、右两顶点分别为A₁，A₂，以A₁A₂为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点P（点P在第一象限内），若直线FP平行于另一条渐近线，则该双曲线离心率e的值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设出双曲线的右焦点，渐近线方程，由圆x²+y²=a²与直线y=$\frac{b}{a}$x，求得交点P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），再由两直线平行的条件：斜率相等，化简方程，结合离心率公式即可得到所求值．

解答 解：设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），
渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
由圆x²+y²=a²与直线y=$\frac{b}{a}$x，求得交点P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
由直线FP平行于另一条渐近线，可得：
$\frac{\frac{ab}{c}}{\frac{{a}^{2}}{c}-c}$=-$\frac{b}{a}$，化为c²=2a²，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线和圆求得交点，以及两直线平行的条件，考查运算能力，属于中档题．