Question

8．已知函数f（x）=lnx
（Ⅰ）若曲线g（x）=f（x）+$\frac{a}{x}$在x=2处的切线与直线x+4y=0平行，求a的值；
（Ⅱ）求证：函数φ（x）=f（x）-$\frac{2（x-1）}{x+1}$在（0，+∞）上为单调增函数；
（Ⅲ）若斜率为k的直线与y=f（x）的图象交于A、B两点，点M（x₀，y₀）为线段AB的中点，求证：kx₀＞1．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，根据切线和直线平行，建立方程关系进行求解即可．
（2）求函数φ（x）的解析式和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行证明即可．
（3）根据中点坐标公式进行转化，构造函数，利用导数证明不等式即可．

解答 解：（1）g（x）=f（x）+$\frac{a}{x}$=lnx+$\frac{a}{x}$，（x＞0），
则g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$，…（2分）
g′（2）=$\frac{1}{2}-\frac{a}{4}=-\frac{1}{4}$，…（3分）
解得a=3，…（4分）
（2）φ（x）=f（x）-$\frac{2（x-1）}{x+1}$=$lnx-\frac{{2（{x-1}）}}{x+1}$（x＞0），
函数的导数φ′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2（x+1）-2（x-1）}{（x+1）^{2}}$=$\frac{（x-1）^{2}}{x（x+1）^{2}}$≥0    …（6分）
则函数函数φ（x）=f（x）-$\frac{2（x-1）}{x+1}$在（0，+∞）上为单调增函数；   …（7分）
（3）设点A（m，lnm），B（n，lnn），不妨设m＞n＞0，则$\frac{m}{n}＞1$，
要证kx₀＞1，即$\frac{lnm-lnn}{m-n}$•$\frac{m+n}{2}$＞1   …（8分）
即证证$\frac{m-n}{m+n}$＜$\frac{lnm-lnn}{2}$．只需证$\frac{{\frac{m}{n}-1}}{{\frac{m}{n}+1}}＜\frac{{ln\frac{m}{n}}}{2}$，即证$ln\frac{m}{n}＞\frac{2（\frac{m}{n}-1）}{\frac{m}{n}+1}$，
 只需证$ln\frac{m}{n}-\frac{2（\frac{m}{n}-1）}{\frac{m}{n}+1}＞0$，…（10分），
设h（x）=lnx-$\frac{2（x-1）}{x+1}$（x＞1），
由（2）得，h（x）在（1，+∞）上是单调增函数，
∵x＞1，∴h（x）＞h（1）=0，
即$ln\frac{m}{n}-\frac{2（\frac{m}{n}-1）}{\frac{m}{n}+1}＞0$，
即$\frac{m-n}{m+n}＜\frac{lnm-lnn}{2}$．
∴所以不等式kx₀＞1．成立．…（14分）

点评 本题主要考查导数的综合应用，利用导数的几何意义求出切线斜率，利用函数单调性和导数之间的关系证明单调性以及构造函数证明不等式是导数的基本应用，综合性较强，难度较大．