Question

13．若双曲线的离心率为$\sqrt{2}$，则双曲线的两条渐近线的夹角是90°．

Answer 1

分析 设出双曲线的方程，求出渐近线方程，利用双曲线的离心率为$\sqrt{2}$，可得a=b，渐近线方程为y=±x，即可得到双曲线两条渐近线的夹角．

解答 解：设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a，b＞0），
则渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
∵双曲线的离心率为$\sqrt{2}$，
∴c=$\sqrt{2}$a，即有c²=2a²，
a²+b²=2a²，即a=b，
∴渐近线方程为y=±x，
∴双曲线两条渐近线的夹角为90°，
故答案为：90°．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线和离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．