Question

1．已知函数$f（x）=\;cos（\frac{π}{2}-x）cosx-{sin^2}x+\frac{1}{2}$，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）若$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$，求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），易得最值；
（Ⅱ）解$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}$求出函数的递增区间，取$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$的即可．

解答 解：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得$f（x）=\;cos（\frac{π}{2}-x）cosx-{sin^2}x+\frac{1}{2}$
=$sinxcosx-\frac{1-cos2x}{2}+\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）
当 $2x+\frac{π}{4}=2kπ+\frac{π}{2}$即$x=kπ+\frac{π}{8}$，k∈z时，${f_{max}}（x）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；
（Ⅱ）∵当$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}$时，f（x）递增，
即$kπ-\frac{3π}{8}≤x≤kπ+\frac{π}{8}$，令k=0，且注意到$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$，
∴函数f（x）的递增区间为$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{8}]$

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的单调性和最值，属基础题．