Question

10．双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的实轴的两个端点为A、B，P为此双曲线上的动点，直线AP、BP的斜率均存在，分别为k₁、k₂．当表达式k₁k₂-2（ln|k₁|+ln|k₂|）取得最小值时，对应的双曲线的离心率为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由题意可得A（-a，0），B（a，0），设P（m，n），代入双曲线的方程，运用直线的斜率公式，求出k₁k₂=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，运用函数的导数，求得表达式k₁k₂-2（ln|k₁|+ln|k₂|）的最小值，及此时b=$\sqrt{2}$a，由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：由题意可得A（-a，0），B（a，0），设P（m，n），
即有$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1，可得$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
由题意可得k₁k₂=$\frac{n}{m+a}$•$\frac{n}{m-a}$=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
设y=k₁k₂-2（ln|k₁|+ln|k₂|）=（$\frac{b}{a}$）²-2ln（$\frac{b}{a}$）²，
令t=$\frac{b}{a}$，可得y=t²-4lnt，
y′=2t-$\frac{4}{t}$=$\frac{2（t-\sqrt{2}）（t+\sqrt{2}）}{t}$，
当t＞$\sqrt{2}$时，y′＞0；当0＜t＜$\sqrt{2}$时，y′＜0．
可得函数y在t=$\sqrt{2}$处取得极小值，且为最小值2-2ln2．
即有b=$\sqrt{2}$a，
可得c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{3{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线的斜率公式和点满足双曲线的方程，考查导数的运用：求单调区间和最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．