Question

19．已知数列{a_n}中，a₁=1，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{n}$，则数列{a_n}的通项公式为a_n=n．

Answer 1

分析 化简$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{n}$=$\frac{n+1}{n}$，从而利用累乘法求通项公式．

解答 解：∵$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{n}$=$\frac{n+1}{n}$，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{1}$，
$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{3}{2}$，
$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{4}{3}$，
…，
$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n-1}$；
累乘可得，
$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$•…•$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2}{1}$•$\frac{3}{2}$•$\frac{4}{3}$•…•$\frac{n}{n-1}$=n，
即a_n=n•a₁=n，
故答案为：a_n=n．

点评 本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了累乘法的应用．