Question

4．己知数列{S_n}的前n项和为a_n=n²+2n．
（1）求数列S_n的通项；
（2）求数列{${2}^{{S}_{n}}$}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）分当n=1时与当n≥2时讨论，从而求通项公式；
（2）化简${2}^{{S}_{n}}$=2²ⁿ⁺¹=2•4ⁿ，从而可判断数列{${2}^{{S}_{n}}$}是以8为首项，4为公比的等比数列，从而解得．

解答 解：（1）当n=1时，S₁=a₁=1²+2=3，
当n≥2时，a_n=n²+2n，a_n-1=（n-1）²+2（n-1）；
∴S_n=a_n-a_n-1=（n²+2n）-（（n-1）²+2（n-1））
=2n+1，
S₁=3也满足S_n=2n+1，
故数列{S_n}的通项公式为S_n=2n+1；
（2）∵S_n=2n+1，∴${2}^{{S}_{n}}$=2²ⁿ⁺¹=2•4ⁿ，
故数列{${2}^{{S}_{n}}$}是以8为首项，4为公比的等比数列，
故其前n项和为$\frac{8（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{8}{3}$（4ⁿ-1）．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的性质的判断与应用，同时考查了分类讨论的思想应用．