Question

12．已知函数f（x）=ax²+lnx的导数f′（x）．
（1）求f（1）+f′（1）；
（2）若曲线y=f（x）存在垂直于y轴的切线，求实数a的范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，代入x=1，计算即可得到所求值；
（2）由题意可得2ax+$\frac{1}{x}$=0有大于0的实根，分离参数法，由x＞0，可得a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=ax²+lnx的导数f′（x）=2ax+$\frac{1}{x}$，
可得f（1）+f′（1）=a+2a+1=3a+1；
（2）f（x）的导数f′（x）=2ax+$\frac{1}{x}$，
由曲线y=f（x）存在垂直于y轴的切线，可得：
2ax+$\frac{1}{x}$=0有大于0的实根，
即有2a=-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0，
可得a＜0，
即a的范围是（-∞，0）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，以及存在性问题的解法，注意运用分离参数，考查运算能力，属于基础题．