Question

2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=1，${S}_{n}^{2}$=a_n（S_n-$\frac{1}{2}$）（n≥2），求a_n．

Answer 1

分析 因为n≥2，由s_n-s_n-1=a_n，代入已知等式中求出s_n，然后利用做差法得出数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以1为首项，以2为公差的等差数列，可求出通项公式，再根据s_n-s_n-1=a_n，化简可得a_n．

解答 解：∵${S}_{n}^{2}$=a_n（S_n-$\frac{1}{2}$）（n≥2），
∴S_n=$\frac{{S}_{n-1}}{2{S}_{n-1}+1}$，
即$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，
∵a₁=1，
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
当n=1时，成立，
∴s_n=$\frac{1}{2n-1}$，
∴a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n-3}$=-$\frac{2}{（2n-1）（2n-3）}$，
当n=1时，a₁=2，不成立，
故a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{-\frac{2}{（2n-1）（2n-3）}，n≥2，n∈{N}^{+}}\end{array}\right.$．

点评 此题考查学生会利用数列的递推式推导数列的通项公式，以及掌握利用做差法求数列和的数学思想解题．本题是中档题．