Question

17．已知数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，且满足2a_n+1+S_n=3（n∈N^*），则a₂=1；S_n=S_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{3-\frac{1}{{2}^{n-2}}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由 2a_n+1+S_n=3，得2a₂+a₁=3，得到a₂=1，由2a_n+1+S_n=3，2a_n+S_n-1=3（n≥2）相减，数列{a_n}从第二项开始，是以为1首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
再求出前n项和公式．

解答 解：由 2a_n+1+S_n=3，得2a₂+a₁=3，
又a₁=1，
∴a₂=1，
由2a_n+1+S_n=3，2a_n+S_n-1=3（n≥2）相减，
可得2a_n+1-a_n=0，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$
又a₂=1，
∴数列{a_n}从第二项开始，是以为1首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{1}{{2}^{n-2}}，n≥2}\end{array}\right.$
∴S_n=a₁+$\frac{1×（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1+2-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$=3-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$，n≥2，
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{3-\frac{1}{{2}^{n-2}}，n≥2}\end{array}\right.$，
故答案为：1，S_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{3-\frac{1}{{2}^{n-2}}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式，等比数列的前n项和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题题．